Idag (igår) har vi gått igenom grundläggande algebra.
Vi började helt från grunden, med balansmetoden. Hela grejen med ekvationer och algebra, är att om man har två uttryck, som är lika varann (t.ex. X=2) så kommer likheten att fortsätta att stämma, så länge man gör samma saker på båda sidor. Man kan addera, subtrahera, multiplicera etc (även X+3=5, eller 2X=4, gäller alltså, i fallet då X=2).
Man brukar vilja manipulera ekvationer så att det obekanta (t.ex. X), blir ensam på en sida. Då kan man räkna ut vad den obekanta är.
Att lösa ekvationssystem förekommer ofta i problemlösning, och att kunna förstå och hantera det är därmed mycket viktigt!
När vi gått igenom några helt grundläggande uppgifter på ovan, så började vi lite med faktorisering, och att multiplicera in i parenteser.
Man kan illustrera multiplikationen med en rektangel, där sidorna är faktorerna. Och arean blir produkten.
Om vi har två parenteser, t.ex. (3+4)(8+7), så kan vi börja med att tänka den andra parentesen som ett tal, och dela upp den första på ovanstående sätt till 3(8+7) + 4(8+7). Nu är det bara att multiplicera in på samma sätt och vi får 3*8 + 3*7 + 4*8 + 4*7. Om vi nu byter ut talen med variabler förstår vi att (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.
Man adderar alltså alla kombinationer där vi väljer en faktor från första och en från andra parentesen. Denna princip fungerar även vid t.ex. tre parenteser, men det blir snabbt väldigt många termer.
(a+b)(c+d)(e+f)=ace+acf+ade+adf+bce+bcf+bde+bdf
här väljer vi alltså tre faktorer, en från var parentes.
Men våra nya (eller repeterade) kunskaper gick vi igenom kvadreringsreglerna.
1:a
(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2
2:a
(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-ab-ba+b^2=a^2-2ab+b^2
Konjugatregeln
(a+b)(a-b)=a^2-ab+ba-b^2=a^2-b^2
Därefter löste vi uppgiften:
"Förenkla uttrycket så långt som möjligt:
1-a^2-2ab-b^2
-----------------
1+a+b "
Att lösa uppgiften lämnas åt läsaren, men tips är att använda tidigare nämnda kvadreringsregler, och att de självklart går att använda på båda håll.
Vi fortsatte sedan med lite klurigare ekvationer, en av dem löd:
"Aristoteles var en grekisk vetenskapsman och filosof, som levde i det antika grekland. När han var 6 år så började han skolan. En tolftedel av hela hans liv därefter, så började han intressera sig för den vetenskap han blev känd för. Efter ytterligare en sjundedel förlovade han sig. 4 år därefter gifte han sig. Hans förstfödde föddes ytterligare en tolftedel därefter. När denna förstfödde var 6 år och började skolan, så hade Aristoteles levt exakt halva sitt liv. Hur gammal blev Aristoteles?"
Även denna uppgift lämnas åt läsaren.
Vi jobbade även lite med tvåvariabels (eller fler) ekvationssystem, och använde då substitutionsmetoden.
ex.
Lös ekvationssystemet:
(i) y + 3x + 8 = 4x - 2y
(ii) 4x-3y + 16 = 42
(i) ger 3y+8=x
substitution av x i (ii) ger
4(3y+8)-3y+16=42
9y+48=42
9y=(-6)
y=(-2)/3
x=3(-2/3)+8=(-2)+8=6
Uppgift som lämnas åt läsaren:
Beräkna a+b+c+d då:
(i) c+d=4
(ii) ac+ad+bc+bd=68
Nästa vecka går vi troligtvis igenom talteori, men inget är spikat.
Björn Magnusson vid tangentbordet
